解题思路：根据高的可能位置，有2种情况，如图（1），（2），通过证明△HBD≌△CAD得AD=BD后求解．
有2种情况，如图（1），（2），
∵BH=AC，∠BEC=∠ADC，
∠AHE=∠BHD，∠HAE+∠C=90°，
∠HAE+∠AHE=90°，∴∠C=∠AHE，
∴∠C=∠BHD，
∴△HBD≌△CAD，
∴AD=BD．
如图（1）时∠ABC=45°；
如图（2）时∠ABC=135°．
∵HE⊥AC，
∴∠C+∠EBC=90°①，
∵∠HDC=90°，
∴∠H+∠HBD=90°②，
∵∠HBD=∠EBC③，
∴由①②③可得，∠C=∠H，
∵BH=AC，∠ADC=∠BDH，
∠C=∠H，
∴△HBD≌△CAD，
∴AD=BD，
∴∠ABD=45°，
∠ABC=135°．
故选D．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要考虑全面，相等两种情况．