通过计算可得下列等式：22-12=2×1+1；32 - 知识问答

通过计算可得下列等式：22-12=2×1+1；32-22=2×2+1；42-32=2×3+1；…；（n+1）2-n2=2

1个回答

解题思路：类比1²+2²+…+n²的计算公式的推导过程，可得
(n+1
)
4
−
n
4
＝
C
1
4
×
n
3
+
C
2
4
×
n
2
+
C
3
4
×n+1
，进而得叠加后可得4（1³+2³+…+n³），从而得到1³+2³+…+n³的计算公式．
24−14＝
C14×13+
C24×12+
C34×1+1，
34−24＝
C14×23+
C24×22+
C34×2+1，
44−34＝
C14×33+
C24×32+
C34×3+1，
…
(n+1)4−n4＝
C14×n3+
C24×n2+
C34×n+1，
将以上各式相加得：(n+1)4−1＝
C14(13+23+33+…+n3)+
C24(12+22+32+…+n2)+
C34(1+2+3+…+n)+n
=
C14(13+23+33+…+n3)+6•
n(n+1)(2n+1)
6+4•
n(n+1)
2+n，
∴13+23+33+…+n3＝
1
4•[(n+1)4−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−(n+1)]
=
点评：
本题考点：进行简单的合情推理．
考点点评：本题考查的知识点是类比推理，其中已知中的推理过程，类比得到(n+1)4−n4＝C14×n3+C24×n2+C34×n+1是解答的关键．

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