Question

如图，在所有棱长均为2的正三棱柱中，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，求：

Answer 1

解题思路：（I）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，直接可以求出对角线长；

（II）将侧面AA₁B₁B绕棱AA₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC₁交AA₁于M，则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线，求出DC₁和

A

1

M

AM

的值即可；

（III）连接DB，C₁B，可证∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C₁BC中求出此角．

（I）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2

∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形

其对角线长为

62+22=2

10．

（II）如图，将侧面AA₁B₁B绕棱AA₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点D的位置，

连接DC₁交AA₁于M，则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线，

其长为

DC2+

CC21=

42+22=2

5

∵△DMA≌△C₁MA₁，

∴AM=A₁M

故

A1M

AM=1

（III）连接DB，C₁B，

则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线在△DCB中，

∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，

∴CB⊥DB，

又C₁C⊥平面CBD，

由三垂线定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），

∵侧面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，

故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．