如图,在所有棱长均为2的正三棱柱中,由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M,求:

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  • 解题思路:(I)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,直接可以求出对角线长;

    (II)将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点B运动到点D的位置,连接DC1交AA1于M,则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线,求出DC1

    A

    1

    M

    AM

    的值即可;

    (III)连接DB,C1B,可证∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角,在三角形C1BC中求出此角.

    (I)∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2

    ∴正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形

    其对角线长为

    62+22=2

    10.

    (II)如图,将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点B运动到点D的位置,

    连接DC1交AA1于M,则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线,

    其长为

    DC2+

    CC21=

    42+22=2

    5

    ∵△DMA≌△C1MA1

    ∴AM=A1M

    A1M

    AM=1

    (III)连接DB,C1B,

    则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在△DCB中,

    ∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,

    ∴CB⊥DB,

    又C1C⊥平面CBD,

    由三垂线定理得C1B⊥DB,∴∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角),

    ∵侧面C1B1BC是正方形,∴∠C1BC=45°,

    故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45°.

    点评:

    本题考点: 二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.

    考点点评: 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.