已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角

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  • 先证明一个结论:G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心 (GA ,GB,GC,0为向量)

    【证明】(1)若已知GA+GB+GC=0,

    取BC中点D,连结并延长GD至E,使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形

    ∴向量GB=向量CE

    ∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE

    由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG

    ∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线而D在GE上,

    ∴A、G、D三点共线而点D又是BC中点,

    ∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线

    同理可证BG是AC边上的中线,CG是AB边上的中线

    ∴点G是三角形ABC的重心.

    (2)若已知点G是三角形ABC的重心,

    以GA、GB为邻边做平行四边形AGBD,设GD交AB于E

    则向量GD=向量GA+向量GB

    又向量GE=-向量GC/2=向量GD/2===>-向量GC=向量GD

    ∴-向量GC=向量GA+向量GB

    ∴向量GA+向量GB+向量GC=0向量

    本题中:G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3c向量GC=0,

    又因GA+GB+GC=0,所以GA=-GB–GC,

    代入得:a(-GB–GC) +b向量GB+根3c向量GC=0,

    整理得:(b-a) 向量GB+(√3c-a) 向量GC=0,

    因为向量GB,向量GC不共线,所以只有b- a =0,√3c-a =0,

    三角形是等腰三角形,

    根据余弦定理得:cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)= √3/6,

    由此可得∠A的大小.