Question

设随机变量X1,X2.Xn中任意两个的相关系数均为ρ,试证明ρ≥-1/（n-1)

Answer 1

由相关系数定义ρ=E((Xi-Xi')(Xj-Xj')/sigma(i)sigma(j),其中sigma(i)是Xi的方差,X'是Xi的期望.将Xi全部正则化（就是通过平移和伸缩使期望为0,方差为1）,不影响任何两个随机变量的相关系数

考虑所有相关系数的和

求和E(XiXj)=E((X1+X2+...+Xn)^2)-求和E(X^2)

上式是根据n个随机变量的和的平方展开得出.

又 E((X-X')^2)=E(X^2)-E(X‘^2)=E(X^2)=1,E((X1+X2+...+Xn)^2)>=0,

E(XiXj)>=-n

即n(n-1)ρ>=-n

就是原题要证的结论