如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B=90°,D为棱BB1上一点,且平面DA1C⊥

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  • 解题思路:(1)过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF,EF.先证明DE⊥面AA1C1C,再证明D,E,F,B共面,进而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,即可得到结论;

    (2)过B作BH⊥A1G于点H,由三垂线定理知,A1G⊥CH,则可得∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角,利用二面角A-A1D-C的平面角为60°,即可得到结论.

    (1)证明:过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF,EF

    ∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C内的直线DE⊥A1C,

    ∴DE⊥面AA1C1C.

    又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,且△ABC为等腰三角形,易知BF⊥AC,

    ∴BF⊥面AA1C1C.由此知:DE∥BF,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,

    故有DB∥EF,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,

    所以DB=EF=[1/2]AA1=[1/2]BB1,所以D点为棱BB1的中点;

    (2)延长A1D与直线AB相交于G,则过B作BH⊥A1G于点H,由三垂线定理知,A1G⊥CH

    ∴∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角

    设AA1=2b,AB=BC=a,则在直角△A1AG中,AB=BG;

    在直角△DBG中,BH=[BD×BG/DG]=

    ab

    a2+b2

    在直角△CHB中,tan∠CHB=[BC/BH]=

    a

    ab

    a2+b2=

    3

    b

    a=

    2

    2,∴

    A1A

    AB=[2b/a]=

    点评:

    本题考点: 直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法.

    考点点评: 本题考查平面与平面垂直的性质,考查面面角,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.