解题思路:(1)过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF,EF.先证明DE⊥面AA1C1C,再证明D,E,F,B共面,进而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,即可得到结论;
(2)过B作BH⊥A1G于点H,由三垂线定理知,A1G⊥CH,则可得∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角,利用二面角A-A1D-C的平面角为60°,即可得到结论.
(1)证明:过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF,EF
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C内的直线DE⊥A1C,
∴DE⊥面AA1C1C.
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,且△ABC为等腰三角形,易知BF⊥AC,
∴BF⊥面AA1C1C.由此知:DE∥BF,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,
故有DB∥EF,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,
所以DB=EF=[1/2]AA1=[1/2]BB1,所以D点为棱BB1的中点;
(2)延长A1D与直线AB相交于G,则过B作BH⊥A1G于点H,由三垂线定理知,A1G⊥CH
∴∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角
设AA1=2b,AB=BC=a,则在直角△A1AG中,AB=BG;
在直角△DBG中,BH=[BD×BG/DG]=
ab
a2+b2
在直角△CHB中,tan∠CHB=[BC/BH]=
a
ab
a2+b2=
3
∴
b
a=
2
2,∴
A1A
AB=[2b/a]=
点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法.
考点点评: 本题考查平面与平面垂直的性质,考查面面角,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.