如图,抛物线和直线y=kx-4k(k<0)与x轴、y轴都相交于A、B两点,已知抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于C点,且

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  • 解题思路:先由y=kx-4k(k<0)得到A(4,0),B(0,-4k);又可得C(-1,0),即可求出A点关于对称轴对称的点坐标为(-6,0),

    则可设抛物线的解析式y=a(x+6)(x-4).易证Rt△BOC∽Rt△AOB,得到OB2=OC•OA,即(-4k)2=1×4,而k<0,求出k的值,即得到B点坐标,然后代入解析式得到a的值.

    对于y=kx-4k(k<0),令y=0,x=4,得A的坐标(4,0);令x=0,y=-4k,得B的坐标(0,-4k),C点坐标为(-1,0),则A点关于对称轴对称的点坐标为(-6,0),

    设抛物线的解析式y=a(x+6)(x-4),

    又∵∠ABC=90°,

    ∴Rt△BOC∽Rt△AOB,

    ∴OB2=OC•OA,即(-4k)2=1×4,而k<0,

    ∴k=-[1/2],则B点坐标(0,2).

    把(0,2)代入解析式得,2=a×6×(-4),解得a=-[1/12].

    ∴y=-[1/12](x+6)(x-4),

    所以抛物线的解析式为y=-[1/12]x2-[1/6]x+2.

    点评:

    本题考点: 待定系数法求二次函数解析式.

    考点点评: 本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式.设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.也考查了三角形相似的判定与性质.