若直线 过双曲线 的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行.

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  • 若直线

    过双曲线

    的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行.

    (Ⅰ)求双曲线的方程;

    (Ⅱ)若过点

    轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点

    的垂直平分线为

    ,求直线

    轴上截距的取值范围.

    (Ⅰ)

    .(Ⅱ)直线

    轴上的截距的取值范围为

    试题分析:(Ⅰ)由

    ,且

    ,解得

    故双曲线的方程为

    .

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知

    ,依题意可设过点

    的直线为

    ,且

    的中点

    ,则

    故直线

    的方程为

    ,即

    所以直线

    轴上的截距

    ,由

    ,且

    ,所以

    .即直线

    轴上的截距的取值范围为

    点评:中档题,结合双曲线的几何性质,应用“待定系数法”求得了双曲线标准方程。研究直线与圆锥曲线的位置关系,往往应用韦达定理,通过“整体代换”,简化解题过程,实现解题目的。(II)中根据方程组有解,确定得到直线斜率范围,易于忽视。