若直线
过双曲线
的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若过点
与
轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点
的垂直平分线为
,求直线
在
轴上截距的取值范围.
(Ⅰ)
.(Ⅱ)直线
在
轴上的截距的取值范围为
试题分析:(Ⅰ)由
得
,
,且
,解得
故双曲线的方程为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,依题意可设过点
的直线为
由
得
,
,
,且
设
的中点
,则
,
故直线
的方程为
,即
所以直线
在
轴上的截距
,由
,且
得
,所以
.即直线
在
轴上的截距的取值范围为
点评:中档题,结合双曲线的几何性质,应用“待定系数法”求得了双曲线标准方程。研究直线与圆锥曲线的位置关系,往往应用韦达定理,通过“整体代换”,简化解题过程,实现解题目的。(II)中根据方程组有解,确定得到直线斜率范围,易于忽视。