2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(本题满分36分,每小题6分)
1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根,则的弧度数为 ( )
A．6 B．12或512 C．6或512 D．12
2．已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R,均有M∩N,则b的取值范围是 ( )
A．[－62,62] B．(－62,62) C．(－233,233] D．[－233,233]
3．不等式log2x－1+12log12 x3+2>0的解集为
A．[2,3) B．(2,3] C．[2,4) D．(2,4]
4．设点O在ABC的内部,且有→OA+2→OB+3→OC=→0,则ABC的面积与AOC的面积的比为( )
A．2 B．32 C．3 D．53
5．设三位数n=¯¯¯abc,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )
A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O－HPC的体积最大时,OB的长为 ( )
A．53 B．253 C．63 D．263
二．填空题(本题满分54分,每小题9分)
7．在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
8．设函数f：R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2,则f(x)= ；
9．如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1—A1的度数是 ；
10．设p是给定的奇质数,正整数k使得k2－pk也是一个正整数,则k= ；
11．已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18,且a0=3,则n∑i=01ai的值是 ；
12．在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(－1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为 ；
三．解答题(本题满分60分,每小题20分)
13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关．问：
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关?
⑵ 他连过前三关的概率是多少?
14．在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,43),B(－1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围．
15．已知,是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=2x－tx2+1的定义域为[,]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0,2)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)an+1>4,n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*,使得对∀n>n0,都有b2b1+b3b2+…+bnbn－1+bn+1bn2,第二关时掷2次的点数和>4,第三关时掷3次的点数和>8．
第一关过关的概率=46=23；
第二关过关的基本事件有62种,不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数,有C24个 (亦可枚举计数：1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计6种,过关的概率=1－662=56；
第三关的基本事件有63种,不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数,可连写8个1,从8个空档中选3个空档的方法为C38=876321=56种,不能过关的概率=5663=727,能过关的概率=2027；
∴连过三关的概率=23562027=100243．
14．在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,43),B(－1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围．
⑴ 设点P的坐标为(x,y),
AB方程：x－1+3y4=1,4x－3y+4=0, ①
BC方程：y=0, ②
AC方程：4x+3y－4=0, ③
∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|,
25y2+16x2－(3y－4)2=0,16x2+16y2+24y－16=0,
2x2+2y2+3y－2=0．
或25y2－16x2+(3y－4)2=0,16x2－34y2+24y－16=0,
8x2－17y2+12y－8=0．
∴ 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0, ④
或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0． ⑤
但应去掉点(－1,0)与(1,0)．
⑵ ABC的内心D(0,12)：经过D的直线为x=0或y=kx+12． ⑥
(a) 直线x=0与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点；
(b) k=0时,直线y=12与圆④切于点(0,12),与双曲线⑤交于(±582,12),即k=0满足要求．
(c) k=±12时,直线⑥与圆只有1个公共点,与双曲线⑤也至多有1个公共点,故舍去．
(c) k0时,k12时,直线⑥与圆有2个公共点,以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－254=0．
当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0,即得k=±23417与k=±22．
∴ 所求k值的取值范围为{0,±23417,±22}．
15．已知,是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)= 2x－tx2+1的定义域为[,]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0,2)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)an+1>4,n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*,使得对∀n>n0,都有b2b1+b3b2+…+bnbn－1+bn+1bn0)．
∴ 00+2+22=4．
⑵ 即证n∑k=1(1－bk+1bk)>2004．
1－bk+1bk=bk－bk+1bk=1+(1k)2－1+(1k+1)21+(1k)2－1=k2((1k)2－(1k+1)2)1+(1k)2+11+(1k)2+1+(1k+1)2
≥2k+1(k+1)21+(1k)2+121+(1k)2>2k+1(k+1)212>1k+2．
∴n∑k=1(1－bk+1bk)>n∑k=11k+2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+…．
只要n足够大,就有n∑k=1(1－bk+1bk)>2004成立．
三．(本题满分50分)对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m,m+1,…,m+n－1}的任一个f(n)元子集中,均至少有3个两两互素的元素．
⑴ 当n≥4时,对集合M(m,n)={m,m+1,…,m+n－1},
当m为奇数时,m,m+1,m+2互质,当m为偶数时,m+1,m+2,m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素,故f(n)存在且f(n)≤n． ①
取集合Tn={t|2|t或3|t,t≤n+1},则T为M(2,n)={2,3,…,n+1}的一个子集,且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．
但card(T)=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f(n)≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②
由①与②得,f(4)=4,f(5)=5．5≤f(6)≤6,6≤f(7)≤7,7≤f(8)≤8,8≤f(9)≤9．
现计算f(6),取M={m,m+1,…,m+5},若取其中任意5个数,当这5个数中有3个奇数时,这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k,k+2,k+4(k0(mod 2))时,其中至多有1个被5整除,必有1个被3整除,故至少有1个不能被3与5整除,此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．
而M(m,n+1)=M(m,n)∪{m+n},故f(n+1)≤f(n)+1． ③
∴ f(7)=6,f(8)=7,f(9)=8．
∴ 对于4≤n≤9,f(n)= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立． ④
设对于n≤k,④成立,当n=k+1时,由于
M(m,k+1)=M(m,k－5)∪{m+k－5,m+k－4,…,m+k}．
在{m+k－5,m+k－4,…,m+k}中,能被2或3整除的数恰有4个,即使这4个数全部取出,只要在前面的M(m,k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是
当n≥4时,f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．
故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+26]+1,
比较②,知对于n=k+1,命题成立．
∴对于任意n∈N*,n≥4,f(n)= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立．
又可分段写出结果：
f(n)= 4k+1,(n=6k, k∈N*),4k+2,(n=6k+1,k∈N*),4k+3,(n=6k+2,k∈N*),4k+4,(n=6k+3,k∈N*),4k+4,(n=6k+4,k∈N*),4k+5,(n=6k+5,k∈N*)．