Question

已知曲线y=2x-x2上有两点A（2，0），B（1，1），求：

Answer 1

解题思路：（1）由曲线y=2x-x²上有两点A（2，0），B（1，1），能求出割线AB的斜率k_AB．

（2）由y=2x-x²，A（2，0），利用导数的几何意义能求出点A处的切线的方程．

（3）由y=2x-x²，A（2，0），利用导数的几何意义能求出过点A的切线斜率k_AT．

（1）∵曲线y=2x-x²上有两点A（2，0），B（1，1），

∴割线AB的斜率k_AB=[0-1/2-1]=-1．

（2）∵y=2x-x²，∴y′=2-2x，

∵y′|_x=2=2-2×2=-2，

∴点A处的切线的方程为：y=-2（x-2），即2x+y-4=0．

（3）∵y=2x-x²，∴y′=2-2x，

∴曲线y=2x-x²在（x0，2x0-x02）处的切线方程为：

y-2x0+x02=(2-2x0)(x-x0)，

∵切线方程为点A（2，0），

∴-2x0+x02=(2-2x0)(2-x0)，

解得x₀=2，

∴过点A的切线斜率k_AT=2-2x₀=2-4=-2．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查割线斜率的求法、切线方程的求法和切线斜率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的合理运用．