解题思路：利用所给函数的性质，可知，自变量之和等于1的两个函数值之和等于2，所以欲求
f(
1
2010
)+f(
2
2010
)+f(
3
2010
+…+f(
2009
2010
)
的值，只需判断和中有几个2即可．
∵f(
1
2+x)+f(
1
2−x)＝2对任意的正实数x成立
∴f(
1
2+
1004
2010)+f(
1
2−
1004
2010) ＝2，
f(
1
2+
1003
2010)+f(
1
2−
1003
2010) ＝2，
f(
1
2+
1002
2010)+f(
1
2−
1002
2010) ＝2
…
f(
1
2)+f(
1
2) ＝2
即f(
1
2010)+f(
2009
2010) ＝2，
f(
2
2010)+f(
2008
2010) ＝2，
f(
3
2010)+f(
2007
2010) ＝2，
…
f(
1005
2010)＝1
∴f(
1
2010)+f(
2
2010)+f(
3
2010)++…+f(
2009
2010)=2009
故答案为2009
点评：
本题考点： 函数的值．
考点点评： 本题主要考查了根据抽象函数性质求函数值的和，属于抽象函数的考查．