斜率为1的直线l与椭圆x^2/4+y^2/2=1交于A、B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大,求l方程

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  • k=1

    y=x+b

    △ABO,底边AB的高h=|b|/√2

    x^2/4+y^2/2=1

    x^2+2y^2=4

    x^2+2(x+b)^2=4

    3x^2+4bx+2b^2-4=0

    xA+xB=-4b/3,xA*xB=(2b^2-4)/3

    (yA-yB)^2=(xA-xB)^2=(xA+xB)^2-4xA*xB=8(6-b^2)/9

    AB^2=16*(6-b^2)/9

    AB=(4/3)*√(6-b^2)

    三角形ABO的面积:

    S=AB*h/2=[(4/3)*√(6-b^2)]*(|b|/√2)/2

    2b^4-12b^2+9s^2=0

    未知数为b^2的上方程有实数解,则它的判别式△≥0,即

    (-12)^2-4*2*9s^2≥0

    S^2≤2

    S最大=√2

    2b^4-12b^2+9s^2=0

    2b^4-12b^2+9*2=0

    2(b^2-3)^2=0

    b^2=3

    b=±√3

    L方程:y=x±√3