解题思路：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）构造函数g（x）=f（x）+f（k-x），（k＞0），利用导函数判断出g（x）的单调性，进一步求出g（x）的最小值为
g(
k
2
)
整理可得证．
（3）先研究f（x）在区间[-e2，-e-1]上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间[-e2，-e-1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．
（1）f′（x）=ln x+1，f′（x）＞0，得x＞[1/e]；
f′（x）＜0，得0＜x＜[1/e]，
∴f（x）的单调递增区间是（[1/e]，+∞），单调递减区间是（0，[1/e]）．…（3分）
（2）∵g（x）=f（x）+f（k-x）=x ln x+（k-x）ln（k-x），定义域是（0，k）
∴g′（x）=ln x+1-[ln （k-x）+1]=ln[x/k−x]…（5分）
由g′（x＞0，得[k/2]＜x＜k，由g′（x＜0，得0＜x＜[k/2]，
∴函数g（x）在（0，[k/2]） 上单调递减；在（[k/2]，k）上单调递增，…（7分）
故函数g（x）的最小值是：ymin=g（[k/2]）=kln[k/2]．…（8分）
（3）∵a＞0，b＞0∴在（2）中取x=[2a/a+b]，k=2，
可得f（[2a/a+b]）+f（2-[2a/a+b]）≥2ln1 f（[2a/a+b]）+f（[2b/a+b]）≥0
⇒[2a/a+b]ln[2a/a+b]+[2b/a+b]ln[2b/a+b]≥0
⇒alna+blnb+（a+b）ln2-（a+b）ln（a+b）≥0
⇒f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．