Question

（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，

Answer 1

解题思路：（1）过点P作l₃∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l₃是第3条相似线；

（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．

（1）存在另外 1 条相似线．

如图1所示，过点P作l₃∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；

故答案为：1；

（2）设P（l_x）截得的三角形面积为S，S=

1

4S_△ABC，则相似比为1：2．

如图2所示，共有4条相似线：

①第1条l₁，此时P为斜边AB中点，l₁∥AC，∴

BP

BA=

1

2；

②第2条l₂，此时P为斜边AB中点，l₂∥BC，∴

BP

BA=

1

2；

③第3条l₃，此时BP与BC为对应边，且

BP

BC=

1

2，∴

BP

BA=

BP

BC

cos30°=

3

4；

④第4条l₄，此时AP与AC为对应边，且

AP

AC=

1

2，∴

AP

AB=

AP

AC

sin30°=

1

4，∴

BP

BA=

3

4．

故答案为：

1

2或

3

4或

3

4．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．