Question

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33−x2-2ax（a∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．

（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=

x[2a

x

2

+(1−4a)x−(2+4

a

2

)]

2ax+1

≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．

（1）f′(x)＝

2a

2ax+1+x2−2x−2a=

x[2ax2+(1−4a)x−(2+4a2)]

2ax+1．

∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即[2a/4a+1−2a＝0，解得a=0．

又当a=0时，f′（x）=x（x-2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．

（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，

∴f′（x）=

x[2ax2+(1−4a)x−(2+4a2)]

2ax+1]≥0，在[3，+∞）上恒成立．

①当a=0时，f′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．

②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，

∴2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．

令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其对称轴为x＝1−

1

4a．

∵a＞0，1−

1

4a＜1，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．

由g（3）=-4a²+6a+1≥0，解得

3−

13

4≤a≤

3+

13

4．

∵a＞0，∴0＜a≤

3+

13

4．

综上所述，a的取值范围为[0，

3+

13

4]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．