Question

（本小题满分12分）如图，在三棱柱 中， ⊥ ， ⊥ ， ， 为 的中点，且 ⊥ .

Answer 1

(1)见解析；(2)

＝

·CD

＝

A ₁B ₁×B ₁B×CD＝

×2

×2×

＝

.

本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力

（1）证明CD⊥BB ₁，通过BB1⊥AB，AB∩CD=D，即可证明BB1⊥面ABC

（2）所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积．

(1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA ₁，∴CD⊥平面ABB ₁A ₁，∴CD⊥BB ₁，

又BB ₁⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB ₁⊥平面ABC.……6分

(2)由(1)知CD⊥平面AA ₁B ₁B，故CD是三棱锥C－A ₁B ₁D的高，

在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2

，CD＝

，

又BB ₁＝2，∴

＝

·CD

＝

A ₁B ₁×B ₁B×CD＝

×2

×2×

＝

.……12分