设P是曲线y2=4x上的一个动点,则点P到点A(-1,2)的距离与点P到x=-1的距离之和的最小值为______.

3个回答

  • 解题思路:设P点在曲线y2=4x上的准线l:x=-1上的射影为M,曲线y2=4x的焦点为F,利用抛物线的定义将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离,利用不等式的性质即可得到答案.

    ∵y2=4x的准线方程为:x=-1,

    设曲线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),设曲线y2=4x上的动点P(x0,y0),

    P点在曲线y2=4x上的准线l:x=-1上的射影为M,由抛物线的定义可知,|PM|=|PF|,

    又A(-1,2),

    ∴|AF|=

    (1−(−1))2+(2−0)2=2

    2,

    ∴|PA|+|PM|=|PA|+|PF|≥|AF|=2

    2.

    ∴点P到点A(-1,2)的距离与点P到x=-1的距离之和的最小值为2

    2.

    故答案为:2

    2.

    点评:

    本题考点: 抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题考查抛物线的简单几何性质,利用抛物线的定义将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离是关键,属于中档题.