(2005•河南)如图,Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm

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  • 解题思路:在Rt△PMN中解题,要充分运用好垂直关系,作垂直辅助线,延长AD构成一个长方形,更有利解题,因为此题也是点的移动问题,可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况,(1)C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2);(2)当C点由F点运动到T点的过程中(2<x≤6);(3)当C点由T点运动到N点的过程中(6<x≤8);把思路理清晰,解题就容易了.

    在Rt△PMN中,

    ∵PM=PN,∠P=90°

    ∴∠PMN=∠PNM=45°,

    延长AD分别交PM,PN于点G、H.

    过G作GF⊥MN于F,过H作HT⊥MN于T.

    ∵DC=2cm,

    ∴MF=GF=2cm,TN=HT=2cm.

    ∵MN=8cm,

    ∴MT=6cm.

    因此,矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况:

    (1)当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2),如图①所示,

    设CD与PM交于点E,则重叠部分图形是Rt△MCE,且MC=EC=x.

    ∴y=[1/2]MC•EC=[1/2]x2(0≤x≤2).

    (2)当C点由F点运动到T点的过程中(2<x≤6),如图②所示,重叠部分图形是直角梯形MCDG.

    ∵MC=x,MF=2,

    ∴FC=DG=x-2,且DC=2,

    ∴y=[1/2](MC+GD)•DC=2x-2(2<x≤6).

    (3)当C点由T点运动到N点的过程中(6<x≤8),如图③所示,

    设CD与PN交于点Q,则重叠部分图形是五边形MCQHG.

    ∵MC=x,

    ∴CN=CQ=8-x,且DC=2,

    ∴y=[1/2](MN+GH)•DC-[1/2]CN×CQ

    =-[1/2](8-x)2+12(6<x≤8).

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 此题主要考查直角三角形的性质和垂直关系的应用,直角三角形内部辅助线的作法,以及分类讨论思想的应用.