Question

一道几何题已知,如图5,△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,D是AC的中点,AF⊥BD于E,交BC于F,连结DF.

Answer 1

作AG平分∠BAC,交BD于点G

∵∠BAC=90°,AE⊥BD

∴∠DAE+∠ADB=ABE+∠ADB=90°

∴ ∠ABG=∠CAF

∵△ABC是等腰直角三角形

∴AB=AC,∠C=∠BAG=45°

∴△BAG≌△CAF

∴AG=CF

又∵AD=CD,∠GAD=∠C =45°

∴△AGD≌△DFG

∴∠ADB=∠CDF

作CG垂直于BD的延长线于G

易证三角形AED与三角形CGD全等

所以 ED=DG

因为 ∠AED = 90度 =∠BEA ；

∠ADE = 90度 - ∠BAD = ∠BAE,

所以三角形AED与三角形BEA相似

所以 ED/AE = AE/BE = AD/BA = AD/AC = 1/2

所以 ED/BE = 1/4

所以 BE/BG = BE/(BE+ED+DG) = BE/(BE+2ED) = 2/3

因为 AF//CD,所以三角形BEF与三角形BGC相似

所以 BF/BC = BE/BG = 2/3

所以 BF/FC = BF/(BC-BF) = 2/1

因为 AB/DC = 2/1 = BF/FC

而 ∠ABF = ∠DCF = 45度,

所以三角形ABF与三角形DCF相似

所以 ∠BAF = ∠CDF

又因为∠ADB = 90度 - ∠BAD = ∠BAF,

所以 ∠ADB = ∠CDF