Question

已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2−2nx+bn＝0，(n∈N*)的两根，且a1=1

Answer 1

解题思路：（1）利用a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理变形可得数列

{

a

n

−

1

3

×

2

n

}

是等比数列；

（2）确定数列的同学，分组求和，可得结论；

（3）关键b_n=a_n•a_n+1，b_n-tS_n＞0，可得不等式，分类讨论，可求t的取值范围．

（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，

∴a_n+a_n+1=2ⁿ，∴an+1−

1

3•2n+1＝−(an−

1

3•2n)

∴

an+1−

1

3•2n+1

an−

1

3•2n＝−1

∴数列{an−

1

3×2n}是等比数列；

（2）∵a₁=1，∴a1−

2

3＝

1

3，q＝−1∴an＝

1

3[2n−(−1)n]

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n

＝

1

3[(2+22+…+2n)−((−1)+(−1)2+…+(−1)n)]＝

1

3[

2(1−2n)

1−2−

(−1)(1−(−1)n)

1+1]

=[1/3[2n+1−2−

−1+(−1)n

2]；

（3）∵b_n=a_n•a_n+1，∴bn＝

1

9[2n−(−1)n][2n+1−(−1)n+1]＝

1

9[22n+1−(−2)n−1]＞0

∵b_n-tS_n＞0，∴

1

9[22n+1−(−2)n−1]−t•

1

3[2n+1−2−

(−1)n−1

2]＞0

∴当n为奇数时，

1

9[22n+1+2n−1]−

t

3(2n+1−1)＞0∴t＜

1

3(2n+1)]，∵n为奇数，∴t＜1；

当n为偶数时，

1

9[22n+1−2n−1]−

t

3(2n+1−2)＞0，∴[1/9[22n+1−2n−1]−

2t

3(2n−1)＞0

∴t＜

1

6(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，∴t＜

3

2]

综上所述，t的取值范围为t＜1．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．