已知函数f(x)=[1/2]m(x-1)2-2x+3+lnx(m≥1).

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  • 解题思路:(I)先求出导函数,然后求出f′(x)=0,通过列表判定函数的单调性,从而确定函数的极小值;

    (II)令f′(x)=0,因为△>0,所以方程存在两个不等实根,根据条件进一步可得方程有两个不等的正根,从而得到函数f(x)存在单调递减区间;

    (III)先求出函数y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程,若切线l与曲线C只有一个公共点,则只需方程f(x)=-x+2有且只有一个实根即可.

    (Ⅰ)f′(x)=m(x-1)-2+

    1

    x(x>0).

    当m=

    3

    2时,f′(x)=

    3(x-2)(x-

    1

    3)

    2x,令f′(x)=0,得x1=2,x2=[1/3].

    f(x),f′(x)的变化情况如下表:

    ⊙⊙⊙⊙x⊙(0,[1/3])⊙[1/3]⊙([1/3],2)⊙2⊙(2,+∞)⊙⊙f'(x)⊙+⊙0⊙-⊙0⊙+⊙⊙f(x)⊙单调递增⊙极大值⊙单调递减⊙极小值⊙单调递增所以,当x=2时,函数f(x)取到极小值,且极小值为f(2)=ln2-[1/4].(4分)

    (Ⅱ)令f′(x)=0,得mx2-(m+2)x+1=0.(*)

    因为△=(m+2)2-4m=m2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,记为a,b(a

    因为m≥1,所以

    a+b=

    m+2

    m>0

    ab=

    1

    m>0.

    所以a>0,b>0,即方程(*)有两个不等的正根,因此f′(x)≤0的解为[a,b].

    故函数f(x)存在单调递减区间.(8分)

    (Ⅲ)因为f′(1)=-1,所以曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l为y=-x+2.

    若切线l与曲线C只有一个公共点,则方程[1/2]m(x-1)2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根.

    显然x=1是该方程的一个根.

    令g(x)=[1/2]m(x-1)2-x+1+lnx,则g′(x)=m(x-1)-1+

    1

    x=

    m(x-1)(x-

    1

    m)

    x.

    当m=1时,有g′(x)≥0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x=1是方程的唯一解,m=1符合题意.

    当m>1时,令g′(x)=0,得x1=1,x2=[1/m],则x2∈(0,1),易得g(x)在x1处取到极小值,在x2处取到极大值.

    所以g(x2)>g(x1)=0,又当x→0时,g(x)→-∞,所以函数g(x)在(0,[1/m])内也有一个解,即当m>1时,不合题意.

    综上,存在实数m,当m=1时,曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与C有且只有一个公共点.(14分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值和单调性,以及导数的几何意义,同时考查了转化的思想,属于中档题.