直接证法：
因为总握手次数为偶数,所以握手奇数次总和+偶数次总和=偶数
而偶数次总和为偶数,所以奇数次总和为偶数
所以共有偶数个奇数次,即为偶数个.
归纳法：
当只有1个人时,握手奇数次的人为0个,命题得证.
设当有n人时命题成立,则考虑n+1情况.
若这n+1人中有握手次数为偶数的人,设为i,则去掉i,并将所有与i握手的次数减去1后剩余n人满足命题,从而i加入后带来偶数次握手,仍满足命题；
若n+1人所有握手次数均为奇数,则当n+1为偶数时显然满足命题.
当n+1为奇数时,则任意去掉一个i,剩余n人需满足命题,即存在偶数个奇数次握手,则剩余偶数个偶数握手的人即为和i的握手人,矛盾.
则命题得证,证毕.