Question

正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直,且AB=2,PABCD在同一球面上,该球的表面积是

Answer 1

P、A、B、C、D五点同在一球面上,连结AC、BD,交于O1,取AD中点M,连结PM、O1M,三角形PAD是正三角形,则PM⊥AD,又平面APD⊥平面ABCD,则PM⊥平面ABCD,在平面PMO1上作OO1//PM,在PM上取O2M=PM/3,则O2是三角形PAD的外（重、内）心,过O2作O2O//MO1,与OO1交于O点,OO1//PM,则OO1⊥平面ABCD,OO1上所有点距A、B、C、D四点距离相等,O1M⊥平面PAD,OO2//O1M,则OO2⊥平面PAD,在OO2上所有点距A、P、D距离相等,则O是球心,O是正三棱锥O-APD和正四棱锥O-ABCD的公共交点,O点距P、A、B、C、D五点距离相等,AD=2,PM=√3,O2M=PM/3=√3/3,OO2=O1M=AM/2=1,根据勾股定理,OA^2=OO1^2+AO1^2,OO1=O2M=√3/3,AO1=AC/2=√2,OA=√21/3,外接球半径R=OA=√21/3,∴球表面积S=4πR^2=28π/3.