Question

已知圆O的方程为x 2 +y 2 =1和点A（a，0），设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆OO上异于P、Q的任意一点，过

Answer 1

（1）∵直线l ₁过点A（3，0），且与圆C：x ²+y ²=1相切，

设直线l ₁的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，

则圆心O（0，0）到直线l ₁的距离为d=

|3k|

k 2 +1 =1 ，解得k= ±

2

4 ，

∴直线l ₁的方程为y= ±

2

4 （x-3），即y= ±

2

4 （x-3）．

（2）对于圆方程x ²+y ²=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．

又直线l ₂过点a且与x轴垂直，∴直线l ₂方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为y=

t

s+1 （x+1）．

解方程组

x=3

y=

t

s+1 (x+1) ，得P′ (3，

4t

s+1 ) 同理可得， Q′(3，

2t

s-1 )

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y-

4t

s+1 ）（y-

2t

s-1 ）=0，

又s ²+t ²=1，∴整理得 ( x 2 + y 2 -6x+1)+

6s-2

t y=0 ，

若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x ²-6x+1=0，解得x=3 ±2

2 ，

∴圆C′总经过定点坐标为（3 ±2

2 ，0）．

（3）以EF为直径的圆C过定点，它的逆命题：设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，

过点M（m，0）且与x轴垂直的直线为l ₂，直线PM交直线l ₂于点P′，

直线QM交直线l ₂于点Q′，以P′Q′为直径的圆C总过定点，则m＞1或者m＜-1．