已知函数f(x)=Inx,g (x)=e ^x
1、若函数ψ（x）=f(x)-((x+1)/(x-1)),求函数ψ（x）的单调区间
2、设直线l为函数y=f(x)的图象上一点A（x0,f(x0)）处的切线,证明：在区间（1,+无穷）上存在唯一的x0,使得直线与曲线y=g(x)相切
(1).ψ(x)=lnx-[(x+1)/(x-1)],定义域：x>0,且x≠1.
ψ′(x)=(1/x)-[(x-1)-(x+1)]/(x-1)²=(1/x)+2/(x-1)²=[(x-1)²+2x]/[x(x-1)²]=(x²+1)/[x(x-1)²]
由于x>0,故在其定义域内恒有ψ′(x)>0,即在其定义域(0,1)∪(1,+∞)内,ψ(x)都是单调增加.
(2).f(x)=lnx,f′(x)=1/x,当x=e^(n/e)(n∈N+)时,f′[e^(n/e)]=1/[e^(n/e)]；故y=f(x)上存在一点
(e^(n/e),n/e),过该点的切线方程为
y=[1/e^(n/e)][x-e^(n/e)]+n/e=[1/e^(n/e)]x+(n-e)/e.(1)
g(x)=e^x,g′(x)=e^x,当x=-n/e时,g′(-n/e)=e^(-n/e)=1/[e^(n/e)],故过y=g(x)上的点
(-n/e,1/e^(n/e))的切线方程为
y=[1/e^(n/e)][x+(n/e)]+1/e^(n/e)=[1/e^(n/e)]x+[1/e^(n/e)](n+e)/e.(2)
两条切线(1)和(2)的斜率相同,只要它们在y轴上的截距相等,它们就是同一条切线,为此令：
(n-e)/e=[1/e^(n/e)](n+e)/e),得n-e=[1/e^(n/e)](n+e),e^(n/e)=(n+e)/(n-e).(3)
(3)是一个超越方程,但从理论上讲,由于(3)的左边是关于n的增函数；而其右边,
当n≧3以后,是一个正的假分数,因此是关于n的减函数,故在区间[3,+∞)内必存在一个实
数n(不一定是自然数),使得(3)式成立.这就证明了“在区间（1,+∞）上存在唯一的x0,使
得直线与曲线y=g(x)相切”.
以上只是一个“存在性”证明,n究竟是多少,要用计算机求解,已超出中学的教学要求.