第一题：
令f(x)=e^x,f在[0,x]上连续在(0,x)上可导,由拉格朗日中值定理,存在c使得
(f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c) = e^c > 1
即
f(x) - 1 > x
即
e^x > x
第二题：
等式左边的部分导函数为3x^2+5恒大于0,从而左边单调递增.至于楼主说的可能没有实根,这个可以用介值定理证明根的存在性：
令f(x) = “左边”
那么f(-10)=-10490,而f显然在[-10,10]连续,所以存在一点c使得f(c)=0,c就是这个根.
根的唯一性2L已经交代的很清楚了,想必楼主也明白.
第三题：
首先,楼上说的很有道理,令t=x^2就能解决问题,这里我就再用导数的工具解一下：
令f(x)=左边,那么f'(x)=4x(x^2+3),所以函数f在（-无穷,0)上单调递减,在(0,+无穷）上单调递增.所以函数在x负半轴上至多只有一根,在正半轴上也至多只有一根,所以整个方程最多只有两根.
而f(0)=-10,f(10)=10599>0,还是由介值定理,可以说明（-10,0）上和（0,10）上各有至少一根,也就是说整个方程至少有两根.
所以整个方程有且只有两根.