如图,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是

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  • 解题思路:根据△ACD≌△BCE,得出AD=BE,AM=BN;又△AMC≌△BNC,可得CM=CN,∠ACM=∠BCN,证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三角形;

    证明:∵△ABC是等边三角形,△CDE是等边三角形,

    M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,

    ∴∠ACB=∠ECD=60°,

    ∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,

    在△ACD和△BCE中,

    AC=BC

    ∠ACD=∠BCE

    CD=CE,

    ∴△ACD≌△BCE,

    ∴AD=BE,AM=BN;

    ∴AC=BC,∠CAD=∠CBE,AM=BN,

    ∴△AMC≌△BNC(SAS),

    ∴CM=CN,∠ACM=∠BCN;

    又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM,

    ∠ACB=∠ACM-∠BCM,

    ∴∠NCM=∠ACB=60°,

    ∴△CMN是等边三角形.

    点评:

    本题考点: 等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,难度一般,熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键.