解题思路：（Ⅰ）通过已知表达式，求出f（x-n）=[27/4]（x-n）2（1+n-x）．通过递推关系式求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出函数的最大值，利用最大值小于等于
1
2
n
，即可证明对于任意的n∈N+，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤
1
2
n
；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，转化为方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解问题，通过①当0≤n≤2时，g（n+1）≥0，推出有一解，即存在三个点P；②n≥3时，g（n+1）＜0，没有解．得到结果．
（Ⅰ）由f（x）=2f（x+1）⇒f（x）=
1/2]f（x-1），x∈[n，n+1]，则（x-n）∈[0，1]
⇒f（x-n）=[27/4]（x-n）2（1+n-x）．
f（x）=[1/2]f（x-1）=[1
22f（x-2）=…=
1
2nf（x-n）=
27
2n+2（x-n）2（1+n-x）．（n=0也适用）．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=−
81
2n+2(x−n)(x−
3n+2/3)，由f'（x）=0得x=n或x=n+
2
3]
x n （n，n+[2/3]） n+[2/3] （n+[2/3]，n+1） n+1
f'（x） + 0 - +
0 ↗ 极大 ↘ 0f（x）的极大值为f（x）的最大值，fmax＝f(n+
2
3)＝
1
2n，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，∴|f（x）|=f（x）≤[1
2n（x∈[n，n+1]）．…（8分）
（Ⅲ）y=f（x），x∈[0，+∞）即为y=f（x），x∈[n，n+1]，f'（x）=-1．
本题转化为方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解问题
即方程(x−n)(x−
3n+2/3)−
2n+2
81＝0在[n，n+1]内是否有解．…（11分）
令g（x）=(x−n)(x−
3n+2
3)−
2n+2
81＝x2−
6n+2
3x+
3n2+2n
3−
2n+2
816，
对轴称x=n+
1
3]∈[n，n+1]，
又△=…=
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题通过函数的导数判断函数的单调性求出函数的最大值，证明恒成立问题的应用，考查函数与方程的根的问题，考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力．