解题思路:(1)由圆周角定理和已知条件可得:∠CAD=∠BCD;
(2)根据直径所对的圆周角是直角,得到直角三角形ABC,再根据两角对应相等即可证明三角形相似;
(3)结合图形,知阴影部分的面积即为半圆的面积减去直角三角形ABC的面积.根据相似三角形的性质即可求得BC的长,再根据勾股定理求得AC的长,从而求解.
(1)∵AB是的⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠B=90°,
∵CD⊥AB于D,
∴∠BCD+∠B=90°,
∴∠BCD=∠CAD=36°;
(2)△ABC∽△CBD,理由如下:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
在△ABC与△CBD中,
∠ACB=∠CDB=90°,∠B=∠B,
∴△ABC∽△CBD;
(3)∵△ABC∽△CBD,
∴[CB/DB=
AB
BC],
∴CB2=DB•AB.
∵AB=8,DB=2,
∴CB=4,
在Rt△ABC中,AC=
AB2−BC2=4
3,
∴S△ABC=[1/2]BC•AC=8
3,
∴S阴影部分=[1/2]π×42-S△ABC=8(π-
3).
点评:
本题考点: 圆周角定理;扇形面积的计算;相似三角形的判定.
考点点评: 此题综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形和半圆的面积公式