如图,AB是的⊙O的直径,C是⊙O上一点,CD⊥AB于D,且AB=8,DB=2.

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  • 解题思路:(1)由圆周角定理和已知条件可得:∠CAD=∠BCD;

    (2)根据直径所对的圆周角是直角,得到直角三角形ABC,再根据两角对应相等即可证明三角形相似;

    (3)结合图形,知阴影部分的面积即为半圆的面积减去直角三角形ABC的面积.根据相似三角形的性质即可求得BC的长,再根据勾股定理求得AC的长,从而求解.

    (1)∵AB是的⊙O的直径,

    ∴∠ACB=90°,

    ∴∠CAD+∠B=90°,

    ∵CD⊥AB于D,

    ∴∠BCD+∠B=90°,

    ∴∠BCD=∠CAD=36°;

    (2)△ABC∽△CBD,理由如下:

    ∵AB是⊙O的直径,

    ∴∠ACB=90°,

    又∵CD⊥AB,

    ∴∠CDB=90°,

    在△ABC与△CBD中,

    ∠ACB=∠CDB=90°,∠B=∠B,

    ∴△ABC∽△CBD;

    (3)∵△ABC∽△CBD,

    ∴[CB/DB=

    AB

    BC],

    ∴CB2=DB•AB.

    ∵AB=8,DB=2,

    ∴CB=4,

    在Rt△ABC中,AC=

    AB2−BC2=4

    3,

    ∴S△ABC=[1/2]BC•AC=8

    3,

    ∴S阴影部分=[1/2]π×42-S△ABC=8(π-

    3).

    点评:

    本题考点: 圆周角定理;扇形面积的计算;相似三角形的判定.

    考点点评: 此题综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形和半圆的面积公式