解题思路：（1）△BPQ中，可根据Q的速度用时间t表示出底边BQ的长，而BQ边上的高，可用BP•sinPBQ来表示，根据三角形的面积公式即可求出S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值．
（2）本题要分情况讨论：
①PB=BQ，可用t表示出BP，BQ的长，即可根据题设的等量关系求出t的值．
②PQ=BQ，过P作BD的垂线，设垂足为N，那么BN=[BP/2]，然后在直角三角形BQN中，用BN的长和∠DBC的正弦值表示出BN联立前面BN的表达式即可求出t的值．
③PB=PQ，过P作PM⊥BQ与M，解法同②类似．
（3）如果三角形BPQ为等边三角形，必为（2）题三种条件中的一种，然后按（2）的条件判断三边是否相等即可．
（其实本题可直接得出△PBQ不是等边三角形，因为∠PBQ不可能是60°）．
（1）如图1，自点P向BC引垂线，垂足为M，则PM∥DC，
∴[PM/DC＝
BP
BD]．
∵DC=AB=3，BC=4，
∴BD=
BC2+DC2＝
42+32=5．
当P，Q运动t秒后，
DP=BQ=1•t=t，BP=5-t．
∴PM=[BP•DC/BD＝
(5−t)•3
5＝
15−3t
5]．
∴S△PBQ=[1/2]•BQ•PM=[1/2]•t•[15−3t/5]=-[3/10]（t-[5/2]）2+[15/8]．
∵0＜t≤4，
∴当t=[5/2]时，S取得最大值，最大值为[15/8]．
（2）若△BPQ是等腰三角形．
①如图2，当PB=PQ时，自点P向BC引垂线，垂足为M，则有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得[BM/BC＝
BP
BD]，
∴BM=[BP•BC/BD＝
(5−t)•4
5＝
20−4t
5]．
∴[20−4t/5＝
t
2]，
解得t＝
40
13．
方法二：
在Rt△BMP中，BP=5-t，BM=[t/2]，cos∠DBC=
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是点的运动型问题，考查了矩形的性质、二次函数的应用、等腰三角形的判定等知识点．
（2）题在不确定等腰三角形的腰和底边的情况下要分类讨论．