解题思路：（1）说明点A、C、E在一条直线上，只要求出过A、C的直线的解析式，然后判断E是否满足函数的解析式就可以；
（2）连接GA、FA，已知△GAO与△FAO的面积差为3，而这两个三角形的高相同是OA的长，等于1，因而就可以得到OG与OF的长度的一个关系式．抛物线y=ax2-6ax+1的顶点可以用a表示出来，顶点P在矩形ABCD的内部，即可以求出a的取值范围．
（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y=[1/2]x+1，
将点E的坐标（[15/4]，[23/8]），代入y=[1/2]x+1中，左边=[23/8]，右边=[1/2]×[15/4]+1=[23/8]，
∵左边=右边，
∴点E在直线y=[1/2]x+1上，
即点A、C、E在一条直线上；
（2）连接GA、FA．
∵S△GAO-S△FAO=3
∴[1/2]GO•A0=[1/2]FO•AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x1，0），G（x2，0），
则x1、x2是方程ax2+bx+1=0的两个根，且x1＜x2，
又∵a＜0
∴x1•x2=[1/a]＜0，
∴GO=x2、FO=-x1
∴x2-（-x1）=6，即x2+x1=6
∵x2+x1=-[b/a]，
∴-[b/a]=6，
∴抛物线的解析式为：y=ax2-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-[2/9]＜a＜0①
由方程组
y＝ax2−6ax+1
y＝
1
2x+1，
得：ax2-（6a+[1/2]）x=0，
∴x=0或x=
6a+
1
2
a=6+
1
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题综合运用了抛物线的顶点坐标的求法，以及一元二次方程的求解和韦达定理，及抛物线所经过的点，列方程组求a、b的值，难度较大．