Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x

Answer 1

（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：

设0＜x ₁＜x ₂，则 0＜

x 1

x 2 ＜1，于是有： f(

x 1

x 2 ) ＞1

f（x ₁）= f( x 2 •

x 1

x 2 ) =f（x ₂）+ f(

x 1

x 2 ) -1＞f（x ₂）+1-1=f（x ₂）

即：f（x ₁）＞f（x ₂）．

由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．

（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有

f（x ²+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：

x 2 +2x＞0

3＞0

x 2 +2x ＜3 ，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1

所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数

（2）不等式f（x ²+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}