p是边长为1的正方形ABCD所在平面内的一点,P到A,B,C的距离依次为a,b,c,若a^2+b^2=c^2,求∣PD∣

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  • 取A为原点,AB为X轴.各点坐标如图.设P(X,Y).

    有条件:X²+Y²+(X-1)²+Y²=(X-1)²+(Y-1)²……①

    在①下,求d²=X²+(Y-1)²的最小值.

    ①可化为:X²+(Y+1)²=2……②

    代入d²,得:d²=2-4Y>0.Y需要在②中尽量取大.

    X=0,(Y+1)²=2.Y=√2-1,

    d²=2-4(√2-1)=6-4√2=(2-√2)²

    d=2-√2为∣PD∣的最小值.