Question

已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,M为AC上一点,N为BF上一点,且AM=FN=x,设AB=a

Answer 1

1.作MP⊥AB于P,连NP.

∵正方形ABCD,

∴MP‖BC,

∴AM/AC=AP/AB,

又正方形ABEF,AM=FN,

∴BF=AC,FN/FB=AM/AC=AP/AB,

∴NP‖AF,

∴NP⊥AB,

∴AB⊥平面MNP,

∴MN⊥AB.

2.由1,MP=x/√2,NP=(a√2-x)/√2,

MN^2=MP^2+NP^2=(1/2)(x^2+2a^2-2ax√2+x^2)=x^2-ax√2+a^2

=[x-(a√2）/2]^2+a^2/2,

∴当x=(a√2)/2时,MN取最小值(a√2）/2.