解题思路:首先得出能被33整除的数的特征,然后a1<a2<an是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,可以得出所取的数中任意两数之差都是33的倍数,然后根据数的性质可以得到a1及dn的范围,继而可得出n的最大值.
首先,如下61个数:11,11+33,11+2×33,11+60×33(即1991)满足题设条件,
另一方面,设a1<a2<an是从1,2,2010中取出的满足题设条件的数,
对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为33|(ai+ak+am),33|(aj+ak+am),
所以33|(aj-ai),
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数,
设ai=a1+33di,i=1,2,3,n,
由33|(a1+a2+a3),得33|(3a1+33d2+33d3),
所以33|3a1,11|a1,即a1≥11,dn=
an−a1
33≤
2010−11
33<61,
故dn≤60,所以n≤61,
综上所述,n的最大值为61.
点评:
本题考点: 数的整除性.
考点点评: 本题考查数的整除性的知识,难度较大,关键是掌握满足条件的数的特征,然后有的放矢的进行解答.