Question

如图，在平行六面体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知AB=5，AD=4，AA 1 =3，AB⊥AD，∠A

Answer 1

（Ⅰ）证：连接A ₁O，则A ₁O⊥底面ABCD．

作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A ₁M，A ₁N

由三垂线定理得A ₁M⊥AB，A ₁N⊥AD∵∠A ₁AM=∠A ₁AN，

∴Rt△A ₁NA≌Rt△A ₁MA∴A ₁M=A ₁N∴OM=ON．

∴点O在∠BAD的平分线上

（Ⅱ）∵AM=AA ₁cos

π

3 =3•

1

2 =

3

2 ，

∴AO=AM csc

π

4 =

3

2

2 ．

又在职Rt△AOA ₁中，A ₁O ²=AA ₁ ²-AO ²= 9-

9

2 =

9

2 ，

∴A ₁O=

3

2

2 ．

∴平行六面体的体积V= 5•4•

3

2

2 =30

2 ．