解题思路:(1)根据正方体的性质,得到BB1⊥平面A1B1C1D1,从而BB1⊥A1C1,结合正方形A1B1C1D1中B1D1⊥A1C1,利用线面垂直判定定理即可证出直线A1C1⊥面BDD1B1;(2)由AA1=2算出正方形ABCD的面积为4,由DD1⊥平面ABCD得到DD1=2为四棱锥D1-ABCD的高,由此结合锥体的体积公式即可算出四棱锥D1-ABCD的体积.
(1)BB1⊥平面A1B1C1D1,且A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1…(2分)
∵四边形A1B1C1D1为正方形,∴B1D1⊥A1C1…(4分)
又∵BB1⊂平面BDD1B1,B1D1⊂平面BDD1B1,BB1∩B1D1=B…(6分)
∴直线A1C1⊥面BDD1B1;…(8分)
(2)∵AA1=2,可得正方形ABCD的边长等于2,
∴正方形ABCD的面积S=2×2=4…(10分)
∵DD1⊥平面ABCD,∴DD1为四棱锥D1-ABCD的高…(12分)
∴V D1−ABCD=[1/3]×SABCD×DD1=[8/3],
即四棱锥四棱锥D1-ABCD的体积为[8/3].…(14分)
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
考点点评: 本题在正方体中证明线面垂直,并求锥体的体积.着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和锥体体积的求法等知识,属于中档题.