部分分式
经过有理式的恒等变形,任何有理式总能化为某个既约分式．如果这个既约分式是只含有一个自变数的真分式,还可进一步化为若干个既约真分式之和．这几个分式便称为原来那个既约分式的部分分式．
由拉格朗日插值公式可推出化有理真分式为部分分式的一般方法．
特别,当f(x)＝1时,公式(L)成为
f(x)=x2＋x－3,
x0=1,x1＝2,x2＝3,
f(x0)＝－1,f(x1)＝3,f(x2)＝9,
公式(L)给出了将一个有理真分式化为部分分式之和的一般方法．但
乘积,公式(L)便失去它的实用意义了．对于具有某些特征的有理分式,根据下述原理可以归纳出一些化部分分式的实用方法．
定理1 两个真分式的和或差仍为真分式,或为零．
是真分式．
B(x)的次数,所以A(x)D(x)的次数低于B(x)D(x)的次数．又因为C(x)的次数低于D(x)的次数,所以B(x)C(x)的次数低于B(x)D(x)的次数,从而,A(x)D(x)±B(x)C(x)的次数低于B(x)D(x)的次数．
这个定理的结论很容易推广到三个或三个以上的真分式．
因为一个整式不能恒等于一个真分式,所以只可能有P(x)－
那么这个分式可表示成分别以P(x)、Q(x)为分母的两个真分式的和,并且这样的表达式是唯一的．
证 因为P(x)与Q(x)互质,所以存在整式M(x)与N(x)满足M(x)Q(x)＋N(x)P(x)＝1,从而有A(x)＝A(x)M(x)Q(x)＋A(x)N(x)P(x),于是,
得证．
这样的分式化为整式与分式的和．
可知I1(x)＋I2(x)=0,从而有
这个恒等式仅当B(x)－E(x)=0且F(x)－C(x)=0时才能够成立,否则,便导致P(x)整除B(x)－E(x)．但已知B(x)与E(x)的次数都低于P(x)的次数,
分别以P1(x),P2(x),…,Pn(x)为分母的n个真分式的和,并且这样的表达式是唯一的．
定义 如果P(x)是既约多项式,非零多项式A(x)的次数小于P(x)
因为最简分式的分母是既约多项式的乘幂,并且A(x)不能被P(x)整除,A(x)与P(x)互质,所以最简分式必然是既约真分式．
因为既约多项式是在一定的数域上定义的,所以,一个既约真分式被认为是最简分式也是在一定的数域上来考虑的．例如,x2－3在有理数
在有理数域上是最简分式,在实数域上则不是最简分式．
一个有理真分式如果能表示成最简分式的和,那么和式中的每一个最简分式就是原来那个分式的部分分式．由此可见,将一个有理真分式化为部分分式之和的恒等变形可以考虑为在一定的数域上进行的将这个有理真分式表示成最简分式的和．
证 根据将一个多项式按另一个多项式的乘幂展开的法则,可将A(x)按P(x)的乘幂展开．因为A(x)的次数小于Pn(x)的次数,所以A(x)可唯一地表示为
A(x)=r0(x)＋r1(x)P(x)＋r2(x)P2(x)＋…
＋rn-1(x)Pn-1(x),
这里的r0(x),r1(x),…,rn-1(x)的次数都比P(x)的次数小,其中也可能有一些是零多项式．于是有
定理5 任何一个有理真分式都能唯一地表示成最简分式的和．
由定理3的推广后的结论可得
式的和．
的次数,那么根据定理4,可将这个真分式化为最简分式的和,从而
在实数范围内,任何多项式P(x)＝a0xn＋a1xn-1＋…＋an(a0≠0,n是正整数)都可以分解成一次质因式和二次质因式的积(特殊情况下,可能不含有一次质因式或者二次质因式)．如果把多项式的最高次项的系数提到括号外面,那么这个多项式的一次质因式的一般形式是x－a,二次质因式的一般形式是x2＋px＋q(p2－4q＜0)．因此,一个真分式化为部分分式的情况,就实数域而言可以分成四种类型：
(1)如果分母中含有因式x－a,并且只含有一个,那么对应的部分
(2)如果分母中含有因式x－a,并且含有k(k＞1)个,那么对应的部分分式是k个分式：
这里的A1,A2…,Ak都是常数．
(3)如果分母中含有因式x2＋px＋q(p2－4q＜0),并且只含有一个,
(4)如果分母中含有因式x2＋px＋q(p2－4q＜0),并且含有k(k＞1)个,那么对应的部分分式是k个分式：
这里的A1,B1,A2,B2,…,Ak,Bk都是常数．
解 设
这里的A、B、C都是常数．
因为x2＋x－3＝A(x－2)(x－3)＋B(x－1)(x－3)＋C(x－1)(x－2),所以,分别令x=1,x=2,x=3,
解 将4x3＋12x2＋48x＋108按x＋1的乘幂展开为
4x3＋12x2＋48x＋108=4(x＋1)3＋36(x＋1)＋68,于是
解 设x－3＝y,于是x=y＋3,因此,
如果设
再由9x3－24x2＋48x＝A(x－2)4＋B(x－2)3(x＋1)＋C(x－2)2(x＋1)＋D(x－2)(x＋1)＋E(x＋1)
求A,B,C,D,E的值,需要解一个五元一次方程组,计算
9x3－24x2＋48x＝A(x－2)4＋(x＋1)f(x)．
取x=－1,则有A=－1．因此,
(x＋1)f(x)＝9x3－24x2＋48x＋(x－2)4
＝x4＋x3＋16x＋16,
设x－2＝y,于是x＝y＋2,因此,
于是
解 因为x4＋1＝(x2＋1)2－2x2
两端的对应项的系数,可得
由这四个等式组成的方程组可解得
于是
解 因为x2－x＋1与x2＋1在实数域上都是二次质因式,于是设
如果x2＋1＝0,由上述x2的表达式可得E＝－1,F=0．
如果x2－x＋1＝0,则可得A＝0,B＝1,于是有
x2＝(x2＋1)2＋(Cx＋D)(x2－x＋1)(x2＋1)＋(－x)(x2－x＋1),
即 －x4＋x3－2x2＋x－1=(Cx＋D)(x2－x＋1)(x2＋1),
比较这个恒等式两端的常数项及x5项的系数,可得
C=0,D＝1．
将A,B,C,D,E,F的值代入所设的等式,得