1）如图1．
连接DE、DF,AD为直径,则∠AED＝90°＝∠ADB；又∠BAD＝∠BAD.
则△AED∽△ADB,AD/AE＝AB/AD,AD^2＝AE×AB⑴；
同理△AFD∽△ADC,AD/AF＝AC/AD,AD^2＝AF×AC⑵.
∴AE×AB＝AF×AC
2）如图2．结论依然成立.
过点D作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于B',C'.
则AB/AB'＝AC/AC',AB×AC'＝AC×AB'⑴；
又AD⊥BC,则AD⊥B’C’.连接DE、DF,则1）的结论可知：AE×AB’＝AF×AC’⑵
⑴×2）得：AE×AB×（AB'AC'）＝AF×AC×（AB'×AC'）
故：AE×AB＝AF×AC.
3）如图3.结论依然成立.
过点D作BC的平行线,分别交AB、AC于B',C'.
则AB/AB'＝AC/AC',AB×AC'＝AC×AB'⑶；
又AD'⊥BC,则AD⊥B’C’.连接DE、DF,则1）的结论可知：AE×AB’＝AF×AC’⑷
⑶×⑷得：AE×AB×（AB'AC'）＝AF×AC×（AB'×AC'）
故：AE×AB＝AF×AC.