已知函数f(x)=13x3−ax2+4,且x=2是函数f(x)的一个极小值点.

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  • 解题思路:(1)由函数极值的定义得f'(2)=0,利用导数法求得即可;(2)利用导数判断函数的单调性并由函数的增减性求得函数的最值.

    (本小题满分11分)

    (Ⅰ)f'(x)=x2-2ax.…(2分)∵x=2是函数f(x)的一个极小值点,∴f'(2)=0.

    即4-4a=0,解得a=1.…(4分)

    经检验,当a=1时,x=2是函数f(x)的一个极小值点.∴实数a的值为1.…(5分)

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=

    1

    3x3−x2+4.f'(x)=x2-2x=x(x-2).

    令f'(x)=0,得x=0或x=2.…(6分)

    当x在[-1,3]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:

    x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3

    f'(x) + 0 - 0 +

    f(x) [8/3] ↗ 4 ↘ [8/3] ↗ 4…(9分)

    当x=-1或x=2时,f(x)有最小值[8/3];

    当x=0或x=3时,f(x)有最大值4.…(11分)

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,属常规题目,中档题.