Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证

Answer 1

解题思路：（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论；

（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论；

（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△BCG∽△BFC，利用相似比得出BC²=BG•BF，即AB²=BG•BF，结合（2）的结论求比．

证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，

∴CG⊥BF，

∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，

∠BAH+∠ABH=90°，

∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，

AB=BC，

∴△ABH≌△BCG，

∴CG=BH；

（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，

∴△CFG∽△BFC，

∴[FC/BF]=[GF/FC]，

即FC²=BF•GF；

（3）同（2）可知，BC²=BG•BF，

∵AB=BC，

∴AB²=BG•BF，

∴

FC2

BC2=[FG•BF/BG•BF]=[FG/BG]，

即

FC2

AB2=[GF/GB]．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由垂足得出互余关系求角相等，由边相等证明三角形全等，由角相等证明相似三角形，利用性质解题．