Question

已知点A（3，1）是直线l被双曲线x24−y23＝1所截得的弦的中点，则直线l的方程是（　　）

Answer 1

解题思路：由题意知该直线必存在斜率，设该弦两端点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用平方差法即可求得该直线方程．

由题意知该直线必存在斜率，设该弦两端点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

则x₁+x₂=6，y₁+y₂=2，

把P，Q两点坐标代入双曲线方程，得

x12

4−

y12

3＝1①，

x22

4−

y22

3＝1②，

①-②得，

x12−x22

4−

y12−y22

3=0，即

(x1+x2)(x1−x2)

4−

(y1+y2)(y1−y2)

3=0，

整理得，

y1−y2

x1−x2=[3/4]×

x1+x2

y1+y2=[3/4]×[6/2]=[9/4]，即k_PQ=[9/4]，

故所求直线方程为：y-1=

9

4(x−3)，即9x-4y-23=0．

故选A．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题，属中档题，涉及弦中点问题，一般利用平方差法，即设出弦端点，把坐标代入曲线方程，变形为关于中点及直线斜率的关系式．