Question

如图，AC⊥BC于点C，BC=a，CA=b，AB=c，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径等于______．

Answer 1

解题思路：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；由勾股定理可得：BF=BE，AF=AD，CD=CE；可用DC分别表示出BE、BF的长，根据BF=BE，得出CD的表达式；连接OD、OE；易证得四边形ODCE是正方形，即OE=OD=CD，由此可求出⊙O的半径．

设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE；

∵AC、BE是⊙O的切线，

∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；

∴四边形ODCE是矩形；

∵OD=OE，

∴矩形ODCE是正方形；

即OE=OD=CD；

设CD=CE=x，则AD=AF=b-x；

连接OB，OF，

由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，

∵OB=OB，OF=OE，

∴BF=BE，

则BA+AF=BC+CE，c+b-x=a+x，即x=[c+b−a/2]；

故⊙O的半径为[c+b−a/2]．

点评：

本题考点： 切割线定理．

考点点评： 此题主要考查了正方形性质和判定和勾股定理的应用．