解题思路：（1）由题x＞0，
f′(x)＝
1
x
−
m
x
2
＝
x−m
x
2
，由此利用导数的性质能求出f（x）的单调性．
（2）
f(x)−2
x
2
≤0⇔lnx+
m
x
−2
x
2
≤0
，从而m≤2x3-xlnx，由此利用导数性质能求出实数m的取值范围．
（1）由题x＞0，f′(x)＝
1
x−
m
x2＝
x−m
x2…（2分）
因为m＞0，则当x∈（0，m），f'（x）＜0，
则f（x）在区间（0，m）上单调递减；
当x∈（m，+∞），f'（x）＞0，
则f（x）在区间（m，+∞）上单调递增．…（5分）
（2）f(x)−2x2≤0⇔lnx+
m
x−2x2≤0，
注意到x＞0，上式等价于m≤2x3-xlnx…（7分）
令g（x）=2x3-xlnx，
则g'（x）=6x2-（lnx+1）=6x2-lnx-1，
g″(x)＝12x−
1
x＝
12x2−1
x…（9分）
当x≥1时，g''（x）＞0，则g'（x）在区间[1，+∞）上递增，
则g'（x）≥g'（1）=6-0-1=5＞0，
则g（x）在区间[1，+∞）上递增，
则g（x）≥g（1）=2，…（11分）
故m≤2，即m的取值范围是（-∞，2]．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的单调性，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．