解题思路:(1)已知f(x)=lnx-ax+1,对你进行求导,根据导数和斜率的关系,求出切线的方程;
(2)作F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,利用导数证得任意x>0且x≠1,F(x)<0,从而有f(x)<(1-a)x,即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.
(3)令y=0,进行变形lnx=ax-1,即
a=
lnx+1
x
,令
g(x)=
lnx+1
x
,利用导数的方法,研究其单调性及最大值,从而求出实数a的取值范围.
(1)f′(x)=
1
x−a…(2分)f(1)=-a+1,kl=f'(1)=1-a,
所以切线l的方程为y-f(1)=kl(x-1),即y=(1-a)x.…(4分)
(2)令F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,
则F′(x)=
1
x−1 =
1
x(1−x) ,解F′(x)=0得x=1.
x (0,1) 1 (1,+∞)
F'(x) + 0 -
F(x) ↗ 最大值 ↘F(1)<0,所以∀x>0且x≠1,F(x)<0,f(x)<(1-a)x,
即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.…(9分)
(3)y=f(x)有零点,即f(x)=lnx-ax+1=0有解,a=
lnx+1
x.
令 g(x)=
lnx+1
x,g′(x)=(
lnx+1
x)′=
1−(lnx+1)
x2=−
lnx
x2,
解g'(x)=0得x=1.…(11分)
则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
当x=1时,g(x)的最大值为g(1)=1,
所以a≤1.…(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,还考查了数形结合的思想,是一道中档题.