(2013•东城区模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.

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  • 解题思路:(1)已知f(x)=lnx-ax+1,对你进行求导,根据导数和斜率的关系,求出切线的方程;

    (2)作F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,利用导数证得任意x>0且x≠1,F(x)<0,从而有f(x)<(1-a)x,即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.

    (3)令y=0,进行变形lnx=ax-1,即

    a=

    lnx+1

    x

    ,令

    g(x)=

    lnx+1

    x

    ,利用导数的方法,研究其单调性及最大值,从而求出实数a的取值范围.

    (1)f′(x)=

    1

    x−a…(2分)f(1)=-a+1,kl=f'(1)=1-a,

    所以切线l的方程为y-f(1)=kl(x-1),即y=(1-a)x.…(4分)

    (2)令F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,

    则F′(x)=

    1

    x−1 =

    1

    x(1−x) ,解F′(x)=0得x=1.

    x (0,1) 1 (1,+∞)

    F'(x) + 0 -

    F(x) ↗ 最大值 ↘F(1)<0,所以∀x>0且x≠1,F(x)<0,f(x)<(1-a)x,

    即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.…(9分)

    (3)y=f(x)有零点,即f(x)=lnx-ax+1=0有解,a=

    lnx+1

    x.

    令 g(x)=

    lnx+1

    x,g′(x)=(

    lnx+1

    x)′=

    1−(lnx+1)

    x2=−

    lnx

    x2,

    解g'(x)=0得x=1.…(11分)

    则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

    当x=1时,g(x)的最大值为g(1)=1,

    所以a≤1.…(13分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点;导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,还考查了数形结合的思想,是一道中档题.