Question

设f（x）=log a （x+1），g（x）=log a （t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇

Answer 1

（1）∵a=2，∴关于x的不等式 f(x)-1＞lo g a

x-1

x-2 ，

即 log 2

1+x

2 ＞ lo g 2

x-1

x-2 ，

∴

x+1

2 ＞

x-1

x-2 ＞0，

∴

x+1

2 -

x-1

x-2 ＞0

x-1

x-2 ＞0 ，

x 2 -3x

2(x-2) ＞0

x＞2或x＜1 ，

x＞3或0＜x＜2

x＞2或x＜1 ，

解得 x＞3，或 0＜x＜1，故不等式的解集为{x|x＞3，或 0＜x＜1 }．

（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log _a（x+1）-log _a（t-x）= log a

1+x

t-x 是奇函数，

故有 F（0）=0= log a

1

t ，∴t=1，∴F（x）= log a

1+x

1-x ．

由

1+x

1-x ＞0 解得-1＜x＜1，故F（x）的定义域为（-1，1）．

由于h（x）=

1+x

1-x 在（-1，1）上单调递增，故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．

证明：设-1＜x ₁＜x ₂＜1，

∵h（x ₁）-h（x ₂）=

1+ x 1

1- x 1 -

1+ x 2

1- x 2 =

(1+ x 1 )(1- x 2 )-(1+ x 2 )(1- x 1 )

(1- x 1 )(1- x 2 ) =

2 x 1 - 2x 2

(1- x 1 )(1- x 2 ) ，

由-1＜x ₁＜x ₂＜1，可得2x ₁-2x ₂＜0，（1-x ₁）（1-x ₂）＞0，

∴

2 x 1 - 2x 2

(1- x 1 )(1- x 2 ) ＜0，h（x ₁）＜h（x ₂），故h（x）=

1+x

1-x 在定义域（-1，1）上单调递增，

故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．