关于x的方程r*x^2+(r+2)*x+3r-2=0只有整数根,其中r为有理数,求r的值.
可能是一道初中竞赛题.
当r=0时,原方程变形为,2x-2=0,x=1,为整数根,符合题意.
如果r≠0,原方程变形为
x^2+(1+2/r)*x+(3-2/r)=0,
设a、b是这个方程的两个整数根,不妨设a≥b,
由韦达定理,a+b=-(1+2/r),ab=(3-2/r),
于是2/r为整数,设2/r=m,则,
a+b=-1-m, ……①
ab=3-m. ……②
②-①得：ab-a-b=4,
所以,(a-1)(b-1)=5,
(a-1)、(b-1)都是整数,而5是素数,考虑到a≥b,故有
a-1=5,b-1=1；或
a-1=-1,b-1=-5.
解之,a=5,b=2；或a=0,b=-4.
所以,m=-9或3,故r=-9/2或3/2.
故r的所有可能取值为：0、3/2、-9/2.