(2013•长春一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB

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  • 解题思路:(1)由等腰三角形三线合一,可得A1O⊥AC,进而由侧面AA1C1C⊥底面ABC,结合面面垂直的性质定理可得A1O⊥平面ABC;

    (2)由

    V

    E−BC

    C

    1

    1

    12

    V

    ABC−

    A

    1

    B

    1

    C

    1

    ,可得

    BE=

    1

    4

    B

    A

    1

    ,即

    A

    1

    E=

    3

    4

    A

    1

    B

    ,解Rt△A1OB求出A1B,进而可得A1E的长度

    证明:(1)∵AA1=A1C=AC=2,且O为AC中点,

    ∴A1O⊥AC,

    又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC,侧面AA1C1C∩底面ABC=AC,A1O⊂侧面AA1C1C,

    ∴A1O⊥平面ABC.(6分)

    (2)VE−BCC1=

    1

    12VABC−A1B1C1=

    1

    4VA1−BCC1,

    因此BE=

    1

    4BA1,

    即A1E=

    3

    4A1B,

    又在Rt△A1OB中,A1O⊥OB,A1O=

    3,BO=1

    可得A1B=2,

    则A1E的长度为[3/2].(12分)

    点评:

    本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算.

    考点点评: 本小题以斜三棱柱为考查载体,考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直,搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计,考查了空间直线垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.