解题思路:(1)由等腰三角形三线合一,可得A1O⊥AC,进而由侧面AA1C1C⊥底面ABC,结合面面垂直的性质定理可得A1O⊥平面ABC;
(2)由
V
E−BC
C
1
=
1
12
V
ABC−
A
1
B
1
C
1
,可得
BE=
1
4
B
A
1
,即
A
1
E=
3
4
A
1
B
,解Rt△A1OB求出A1B,进而可得A1E的长度
证明:(1)∵AA1=A1C=AC=2,且O为AC中点,
∴A1O⊥AC,
又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC,侧面AA1C1C∩底面ABC=AC,A1O⊂侧面AA1C1C,
∴A1O⊥平面ABC.(6分)
(2)VE−BCC1=
1
12VABC−A1B1C1=
1
4VA1−BCC1,
因此BE=
1
4BA1,
即A1E=
3
4A1B,
又在Rt△A1OB中,A1O⊥OB,A1O=
3,BO=1
可得A1B=2,
则A1E的长度为[3/2].(12分)
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算.
考点点评: 本小题以斜三棱柱为考查载体,考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直,搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计,考查了空间直线垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.