Question

抛物线问题.过抛物线Y的平方=-X的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,且A、B在直线X=1/4上的射影分别是M、N 则,

Answer 1

设点A在x轴上方,点B在x轴下方,设∠MFO=α,∠NFO=β,则∠MFN=α+β,

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线方程为y=k(x+1/4),

则tanα=2y1,tanβ=-2y2,tan(α+β)=2(y1-y2)/1+4y1y2,

联立y^2=-x与y=k(x+1/4),得到一元二次方程k^2x^2+(k^2/2+1)x+k^2/16=0

由韦达定理可得x1x2,x1+x2关于k的等式,又y1y2=k^2(x1+1/4)(x2+1/4)=

K^2（x1x1+(x1+x2)/4+1/16）=-1/4,所以1+4y1y2=0,tan(α+β)不存在

所以α+β=90°,即∠MFN=90°