已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意的x∈R,总有f(x)-x≥0,

1个回答

  • ∵对任意的x∈R,总有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时 f(x)≤(

    x+1

    2 ) 2 ,

    ∴当x=1时,有1≤f(1)≤1,即f(1)=1,结合f(-1)=0可得

    a-b+c=0

    a+b+c=1 ,

    解得a+c=b=

    1

    2 ,又∵对于一切实数x,f(x)-x≥0恒成立,

    ∴ax 2+(b-1)x+c≥0(a≠0),对于一切实数x恒成立,

    a>0

    △=(b-1 ) 2 -4ac≤0 ,即

    a>0

    ac≥

    1

    16 ,

    ∵a+c=

    1

    2 ,且a+c≥2

    ac =

    1

    2 ,

    ∴当且只有当a=c=

    1

    4 时,不等式成立,

    ∴f(x)=

    1

    4 x 2+

    1

    2 x+

    1

    4